一张纸对折103次，我们的宇宙就放不下它了吗？

相传，国际象棋起源于古印度，是由一位名叫西萨·班·达依尔的宰相发明的。

当时的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者，于是宰相在国王面前提出请求：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏我1粒麦子；第二个小格内给2粒，第三格内给4粒……照这样下去，每一格都比前一个小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有格（共64格）的麦粒，都赏给您的仆人吧！”

国王慷慨地答应了宰相的要求，计数麦粒的工作很快就开始了。一袋又一袋的麦子被扛到棋盘前，但是麦粒数一格接一格增长得越来越迅速，国王很快就发现，即使拿出全印度的小麦，也无法兑现他对宰相许下的诺言！

那么这位宰相到底要求国王赏赐给他多少粒麦子呢？用中学数学所学的方法就可以算出，共需18,446,744,073,709,551,615个麦粒！

这个数字究竟有多大呢？

根据麦粒的重量，近似估算的结果大约为两千多亿吨，而即使是农业现代化技术高速发展的现在，全世界小麦的年产量也不过数亿吨而已！

虽然这个故事的真假已经无从考证，但是由它透露出的数学的神奇与宏大，无疑震撼了我们的心灵，这一令人惊叹的结果背后究竟隐藏着怎样的原理呢？

接下来，就让我们一起进入到今天要介绍的重点——“指数爆炸”。

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宇宙中放不下的纸

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无所不在的“指数爆炸”

在天文，测量，航海，计算机和其他实用数学的分支中，常用到指数函数和它的各种性质，尤其是计算机编程领域，我们在解决问题时，经常会用到指数函数及其相关函数。

这时就要格外注意了，因为一旦处理不好，该问题在解决过程中，我们需要计算的数字很可能会膨胀到难以计算的地步。

相反，如果“指数爆炸”这一数学现象能够得到合理的利用，也可以大大减少计算步骤，成为帮助我们解决问题的利器。

>>>>密码越长就越安全？

我们在注册新的账户或者进行密码修改时，密码设置那一栏的旁边经常会提示我们所设密码的安全程度。

随着密码长度和所含数字、字母、符号种类的增加，密码的安全系数也会越来越高，这背后蕴含的原理就可以利用我们前面提到的“指数爆炸”来解释。

我们现在所使用的密码，是使用俗称“密钥”的随机字节流来进行加密的。

在加密算法没有漏洞的情况下，要想破解密码就必须“一个一个”地进行尝试，即列出与密钥长度相同的字节流，与密码逐一进行比对，直到找到正确的密钥，这种密码破译法又被称为“暴力破解”。

那么密码的长度又是如何影响密码的安全性的呢？

我们假设密码全部由两种数字（1和0）来表示。如果密码的长度只有3位，那么正确的结果必定是下列8种情况之一：

000，001，010，100，011，101，110，111

最多尝试8次就能成功将其破解。

而密码每增加一位，其可能出现的排列组合的种类就会增加一倍，破解密码所需要尝试的次数也随之翻倍。

随着密码位数的增加，暴力破解最多需要尝试的次数如爆炸般增长，破解难度和成本飞速增大。

那么，这种利用“指数爆炸”增加密码安全性的方法效果究竟如何呢？

在这里，小编就给大家举一个比较直观的例子，如果我们要破解一串512位的密码，并且每一位只可能是0和1两个数字中的任一个，需要多久才能尝试遍每种可能呢？答案如下：

这个数字意味着：即便有一台现代超级计算机，并从宇宙诞生的那一刻起就开始解密，不停地尝试各种数字的组合一直到现在（公元2020年），它也无法列举完这串密钥所有可能的情况。

>>>>程序员必备算法：二分法查找

二分法查找是计算机科学里常用的算法，它能帮助人们在一组有序数组中迅速找出某一特定的元素，其基本过程可以总结为：

从数组的中间元素开始，如果中间元素恰好是所要查找的元素，则搜索过程结束。

如果要查找的元素大于或小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半开始，而且同最初时一样，也从中间元素开始比较。

这种算法的好处是，每一次比较都能使搜索的范围缩小一半。这可以看作是“指数爆炸”的另一种应用。

例如，我们怎样才能快速地在下列9个从小到大排列的数中寻找出数字4呢？

1 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，10 ，13 ，14

可能有的小伙伴会说，从第一个数开始检查呗，如果第一个数不是4，就查看第二个数，还不是，就查第三个，以此类推总能找到4在哪里。

想想看，如果4在这列数的最后一位，这种方法岂不是要比较所有位置的数吗？这个计算量是很大的。

然而，如果用刚才介绍的二分法，每次都从中间开始找起，仅需3次比较就能找到4在哪里，大大提高了效率。

随着数组的扩大，这一方式的优势也逐渐显现出来，例如，只需要判断10次，就能在2047个数据中找到目标元素。

运算20次就能在2097151个数据中找出想要的结果；而比较30次时，所能搜寻的数据范围甚至变成了2147483647个！

数学作为人类思维表达形式的一种，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理，以及对完美境界的追求，它与我们的生活息息相关，它的魅力也一直影响着我们。

来源：数字北京科学中心

编辑：lwk